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1、不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

感悟：通过举例推导，n=1，只有一颗二叉搜索树；n=2，有两颗；n=3，有5颗，且可以看出，是在n=2的前提上演变过来的。得出递归公式：dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]，即：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];

class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;//dp[1] = 1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];}
}

2、分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

感悟：典型的0-1背包问题，数组元素的和是固定的，所以背包容量是sum/2，看是否有能刚好装满背包的元素。0-1背包问题的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])；当dp[target]=target时，表示找到了能装满背包的元素。

注意：动态数组使用一维数组时，第二层循环需要倒序，不然可能会把某个元素放入多次；

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int target = 0;for(int n :nums){target += n;}if(target % 2 >0) return false;int m = target/2;int[] dp = new int[m+1];for(int i=0;i<nums.length-1;i++){for(int j=m;j>0 && j>=nums[i];j--){dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return dp[m] == m;}
}

3、最后一块石头的重量II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

感悟：和上题类似，当两块石头尽可能接近时，可以获得最小的重量。

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {if(stones == null || stones.length == 0) return 0;int len = stones.length;int sum = 0;for(int n : stones){sum += n;}int m = sum/2;int[] dp = new int[m+1];for(int i=0;i<len;i++){for(int j=m;j>=stones[i];j--){dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);}}return sum-2*dp[m];}
}

4、目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

感悟：整个数组分成left、right两部分，left+right=sum,left-right=target，所以left = (sum+target)/2，又转化为0-1背包问题了。用二维数组时，能更清晰的推导出转移方程。

归纳总结如下：

• 不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。

• 放物品i： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。

本题中，物品i的容量是nums[i]，价值也是nums[i]。

递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = 0;int len = nums.length;for(int n : nums){sum += n;}if((sum+target)%2 == 1) return 0;if((sum+target) < 0) return 0;int left = (sum+target)/2;int[] dp = new int[left+1];dp[0] = 1;for(int i=0;i<len;i++){for(int j=left;j>=nums[i];j--){dp[j] += dp[j-nums[i]];}}return dp[left];}
}

5、一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

感悟：本题稍有点特殊，背包有两个维度，0和1分别是一个维度。递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {if(strs.length == 0) return 0;int[][] dp = new int[m+1][n+1];for(String s:strs){int zeroNum = 0,oneNum = 0;for(char c:s.toCharArray()){if(c == '0'){zeroNum++;}else{oneNum++;}}for(int i=m;i>=zeroNum;i--){for(int j=n;j>=oneNum;j--){dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1);}}}return dp[m][n];}
}

总结：0-1背包问题，当递推公式不好直接看出来时，可以先尝试使用二维数组去推理。

0-1背包的递推公式推理过程抽象化如下：

• 不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。

• 放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);