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Union-Find

1 基本概念

并查集是一种用于处理集合合并与查询的数据结构，主要用于解决：

• 判断两个元素是否属于同一个集合
• 合并两个集合
• 图的连通性问题（如 Kruskal 最小生成树、岛屿数量、等价类问题）

核心思想：每个元素初始是一个独立的集合（自成一个树的根）。使用两个操作：

1. find(x)：查找元素 x 所在集合的代表元（根）
2. union(x, y) / unite(x, y)：将元素 x 和 y 所在的两个集合合并为一个

1.1 Find(x) - 查询操作

• 找出元素 x 所在集合的代表元（也叫根节点、父节点）
• 判断两个元素是否属于同一个集合：只需比较它们的代表元是否相同

1.2 Union(x, y) - 合并操作

• 将元素 x 和 y 所在的两个集合合并
• 目的是把两个集合的元素归于同一个集合（也就是连通）

并查集的本质：将多个不相交的集合合并，并在查询时保持高效

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2 并查集的结构和优化

2.1 数据结构设计

• parent[i]：表示第 i 个元素的父节点（初始时每个元素是自己的父亲）

• 常见扩展字段：

  • rank[i]：节点的秩（可以理解为树的高度或大小，用于优化合并）
  • size[i]：集合的大小（如果你需要追踪每个集合的元素个数）

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2.2 两大优化策略（关键）

2.2.1 路径压缩（Path Compression）

• 优化 find(x) 操作
• 将 x 到根节点路径上的所有节点直接指向根，降低后续查找的复杂度
• 时间复杂度近似 O(α(n))，α 是反阿克曼函数，几乎是常数

int find(int x) {if (parent[x] != x)parent[x] = find(parent[x]);return parent[x];
}

• 每次查询时，将 x 的所有祖先直接挂到根节点，形成扁平结构
• 减少下次查找路径长度

2.2.2 按秩合并（Union by Rank or Size）

• 合并时，总是将“较矮”的树合并到“较高”的树，保持整体平衡，防止链式退化

void union(int x, int y) {int px = find(x), py = find(y);if (px == py) return;if (rank[px] < rank[py])parent[px] = py;else if (rank[px] > rank[py])parent[py] = px;else {parent[py] = px;rank[px]++;}
}

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3 使用并查集的注意事项

注意事项	说明
初始化	每个元素一开始是自己的父节点（parent[i] = i）
找代表元要用 find()	不要直接比较 parent[x] == parent[y]，必须比较 find(x) == find(y)
使用路径压缩	提高查找效率，避免变成链表结构
合并要检查代表元	避免重复合并或死循环
不适合有环结构查询	并查集不能表示通用图（除非用于检测是否成环）
不支持高频动态插入删除	并查集适合处理固定集合或批量问题，不适合频繁插入删除

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4 典型应用场景

并查集广泛应用于以下场景：

4.1 判断连通性

• 无向图中判断两个点是否连通
• 例题：LeetCode 547. 省份数量（朋友圈）

4.2 等价类/合并集合

• 把多个元素按关系合并为“集合组”
• 例题：LeetCode 1061. 按字典序排列的最小等价字符串

4.3 检测环路（图中是否有环）

• 并查集用于无向图的成环检测
• 例题：Kruskal 最小生成树（MST）

4.4 岛屿问题/连通区域

• 将二维网格中相邻的“陆地”用并查集合并，统计岛屿数
• 例题：LeetCode 200. 岛屿数量

4.5 网络连接问题

• 网络中节点是否连通、连接多少次才能连通
• 例题：LeetCode 1319. 连通网络的操作次数

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5 实现模板

class UnionFind {
private:vector<int> parent;vector<int> rank;  // 或者 sizepublic:UnionFind(int n) {parent.resize(n);rank.resize(n, 1);iota(parent.begin(), parent.end(), 0); // parent[i] = i}// 查找根节点，并进行路径压缩int find(int x) {if (parent[x] != x)parent[x] = find(parent[x]); // 路径压缩return parent[x];}// 合并两个集合void unite(int x, int y) {int px = find(x);int py = find(y);if (px == py) return;// 按秩合并if (rank[px] < rank[py]) {parent[px] = py;} else if (rank[px] > rank[py]) {parent[py] = px;} else {parent[py] = px;rank[px]++;}}// 判断两个元素是否在同一个集合bool connected(int x, int y) {return find(x) == find(y);}
};

6 问题示例：合并等价字符集合（字典序最小）

当我们想用并查集维护字符集合时，可以做如下改造：

• parent[26]：表示字符 ‘a’ 到 ‘z’ 的父节点
• 合并时总是把字典序较小的字符作为根，这样找出的代表字符就是该等价类的最小字母

class Solution {
public:string smallestEquivalentString(string s1, string s2, string baseStr) {vector<int> parent(26);iota(parent.begin(), parent.end(), 0); // a-z 的并查集// 路径压缩查找function<int(int)> find = [&](int x) {if (parent[x] != x)parent[x] = find(parent[x]);return parent[x];};// 合并两个字符等价类，保留字典序较小的作为代表auto unite = [&](int x, int y) {int px = find(x);int py = find(y);if (px == py) return;if (px < py)parent[py] = px;elseparent[px] = py;};for (int i = 0; i < s1.length(); ++i) {unite(s1[i] - 'a', s2[i] - 'a');}string res;for (char c : baseStr) {res += (char)(find(c - 'a') + 'a');}return res;}
};

7 总结

问题特征	是否适合使用并查集
不相交集合合并	非常适合（核心用途）
判断两个元素是否属于同一集合	非常高效
图的连通性/聚类问题	适合
频繁增删元素	不适合，建议用更复杂的数据结构
要维护复杂属性（如路径）	不适合

操作	说明	时间复杂度
find(x)	查找 x 所在集合的代表元	O(α(n))
unite(x,y)	合并两个集合	O(α(n))
connected(x,y)	判断是否在同一集合	O(α(n))

由于路径压缩和按秩合并优化，几乎所有操作都是近乎常数时间。