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目录

1、建立二叉树

1.1 二叉树的结构

1.2 手动建立二叉树

2、二叉树的遍历

2.1 二叉树的三种遍历方式

2.1.1 前序遍历 

2.1.2 中序遍历

2.1.2 后序遍历

3、求二叉树的结点数和二叉树的高度

3.1 求二叉树结点数

3.2 求二叉树叶子结点

3.3 求二叉树第k层结点的个数

3.4 求二叉树的高度

4、二叉树的查找

1、建立二叉树

在学习二叉树的功能之前，先要建立二叉树，这里我们先手动建立一棵二叉树。

1.1 二叉树的结构

我们要建立的这棵二叉树，将每一个结点表示为一个结构体，每一个结点同时存储了数据和自己子结点的地址（结构体指针），如果没有子结点该指针就指向空。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

1.2 手动建立二叉树

使用malloc函数为结点分配空间。
为每个结点存储数据。
将新建结点插入数据这个过程封装为函数BuyNode()。

//新建结点
BTNode* BuyNode(int x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}

// 手动构建一棵二叉树BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;

该二叉树示意图：

2、二叉树的遍历

2.1 二叉树的三种遍历方式

1、前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2、中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之间。
3、后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

二叉树中的核心思想是分治。所谓分治就是分分而治之，大致意思就是将一个复杂的问题转化成一个个简单的小问题，最后解决问题的思想。

2.1.1 前序遍历 

1、对这棵树进行前序遍历，最原始的方法是
先访问1，然后遍历1左子树。
访问2，遍历2左子树。
访问3，遍历3左子树。
为空，再遍历3右子树。
为空，2的左子树遍历结束，再遍历2的右子树。
为空，1的左子树遍历结束，再遍历1的右子树。
…………
…………
…………
2、根据上述方法，我们可以将这个方法归纳为
先访问1后再前序遍历1的左子树和右子树，
前序遍历A的左子树 可以转化为 先访问2后再前序遍历2的左子树和右子树
前序遍历2的左子树 可以转化为 先访问3后再前序遍历3的左子树和右子树
这样就可以把一个复杂的问题转化为一个个较简单的问题。

void PrevOrder(BTNode* root) 
{if (root == NULL) {printf("NULL");return;}printf("%d ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}

2.1.2 中序遍历

1、对这棵二叉树进行中序遍历，最原始的方法是
先遍历1的左子树。
遍历2的左子树。
遍历3的左子树。
为空，访问3，遍历3的右子树。
为空，访问2，遍历2的右子树。
为空，访问1，遍历1的右子树。
…………
…………
…………
2、根据上述方法，我们可以将这个方法归纳为
中序遍历1的左子树后再访问1，然后中序遍历1的右子树。
中序遍历1的左子树可以转化为中序遍历2的左子树后访问2，然后中序遍历2的右子树。
中序遍历2的右子树又可以转化为中序遍历3的左子树后访问3，然后中序遍历3的右子树。

void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}

2.1.2 后序遍历

1、对这颗二叉树进行中序遍历，最原始的方法是
先遍历1的左子树。
遍历2的左子树。
遍历3的左子树。
为空，遍历3的右子树。
为空访，访问3，遍历2的右子树。
为空，访问2，遍历1的右子树。
…………
…………
…………
2、根据上述方法，我们可以将这个方法归纳为
后序遍历1的左子树和右子树后再访问1。
后序遍历1的左子树可以转化为后序遍历2的左子树和右子树后再访问2。
后序遍历2的左子树又可以转化为后序遍历3的左子树和右子树后再访问3。

void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

3、求二叉树的结点数和二叉树的高度

3.1 求二叉树结点数

解题思路：
1、只要该结点地址不为空就是一个结点。
2、整棵树的结点可以转化成
求1的左子树结点数加1的右子树结点树加1（自己本身也是一个结点）。
1的左子树结点树可以转化成2的左子树结点数加右子树的结点树加1。
2的左子树结点数可以转化成3的左子树结点数加D的右子树结点数加1。
3的左右子树都为空，所以2的左子树结点数为1。
…………
…………
…………
直观的写法：

int TreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

或者简洁的写法：

int TreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

3.2 求二叉树叶子结点

解题思路：
1、左右孩子结点都为空的结点算作一个叶子节点。
2、求整棵树的叶子结点，可以转化为求1的左子树叶子结点和1的右子树叶子结点。
求1的左子树叶子结点可以转化为求2的左子树叶子结点加2的右子树叶子结点。
3的左右孩子结点都为空，2的左子树叶子节点为1。
…………
…………
…………

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

3.3 求二叉树第k层结点的个数

解题思路：
若k为3
1、一棵树的第一层结点为1
2、求这棵树第三层的结点数可以转化为求1的左子树以及1的右子树的第二层结点数之和。
求1的左子树的第二层结点数，可以转化成求2的左子树和2的右子树的第一层结点数之和。
2的左子树不为空，层数为1，结点数为1。
2的右子树为空，结点数为0。
…………
…………
…………

// 第k层的节点个数
int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL)return 0;if (k == 1){return 1;}return TreeKLevel(root->left, k - 1) + TreeKLevel(root->right, k - 1);}

3.4 求二叉树的高度

解题思路：
1、空树高度为0。
2、一棵树该树的根结点左右子结点都为空时，该树高度为1。
3、一棵树的高度为左右子树中高度较大的一个加1。
4、求图示中树的高度可以转化为1的左右子树中高度较大的一方加1。
求1的左子树高度可以转化为2的左右子树中高度较大的一方加1。
求2的左子树的高度可以转化为3的左右子树中高度较大的一方加1。
3的左右子结点均为空，则2的左子树高度为1。
2的右子树为空树，2的右子树高度为0，
取较大的一方加1，则2的高度为2，即1的左子树高度为2。

int TreeDepth(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}return max(TreeDepth(root->left), TreeDepth(root->right));
}

4、二叉树的查找

解题思路：
假设要查找6
如果找到就返回节点地址，没找到返回空。
递归调用的时候要根据返回值来判断是否找到，如果不为空代表找到了，不需要继续查找了，这时返回节点地址。

在整颗树查找6，先看根部是否为6，不是再在1的左右子树中查找。

先看1的左子树根部是否为6，不是再在2的左右子树中查找。

先看2的左子树根部是否为6，不是再在3的左右子树中查找。

3的左右子树为空，返回空。

2的右子树为空，返回空。

1的左子树查找完毕，没找到，查找1的右子树。

先看1的右子树根部是否为6，不是再在4的左右子树查找。
先看4的左子树根部是否为6，不是再在5的左右子树中查找。
5的左右子树为空，返回空。
4的右子树为6，找到了，返回该结点地址。

BTNode* TreeFind(BTNode* root, int x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* ret = NULL;ret = TreeFind(root->left, x);if (ret)return ret;ret = TreeFind(root->right, x);if (ret)return ret;return NULL;
}