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一.原理简介

主成分分析（Principal Compoent Analysis,PCA）是一种常用的统计方法和降维技术，用于从高维数据中提取重要信息，减少数据的维度，同时尽可能保留数据的关键特征和变化信息。

PCA通过将原始数据投射到新的坐标系统中，使得新的坐标轴（主成分）能够最大程度地解释数据的方差

在PCA中方差是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解数据的分布和变化情况。

方差表示数据点与数据集平均值之间的差异程度。方差越大表明数据点在平均值周围的分布越分散：方差越小，数据点越集中在平均值附近

对于一组数据X={x1​,x2​,…,xn​}，其方差 Var(X) 的计算公式为：

                          

其中n是数据点的数量，是第i个书记点，是数据的平均值

在特征选择中，方差较小的特征通常包含的信息较少，因为它们的值变化不大。这样的特征对模型的预测能力有限，甚至可能引入噪声。所以一般都是选择高方差的特征

而PCA其目标是找到数据中方差最大的方向（主成分），并将数据投影到这些方向上，通过保留方差较大的主成分，可以最大程度地保留数据的信息

二.原理实现（简述）

计算数据的协方差矩阵，求解其特征值和特征向量。特征值表示每个主成分的方差，特征向量表示主成分的方向

1.解释方差贡献率(explained_variance_ratio_)

解释方差贡献率表示每个主成分对数据方差的贡献比例。通过选择累计解释方差贡献率达到一定的比例（比如80%到95%）的主成分，可以有效降低数据维度，同时保留大部分信息

方差贡献率的数学计算公式：

          方差贡献率 = 

其中是第i个主成分的特征值，n是原始变量的维度

from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np# 示例数据
X = np.array([[2.5, 2.4, 3.1],[0.5, 0.7, 0.9],[2.2, 2.9, 3.0],[1.9, 2.2, 2.8],[3.1, 3.0, 3.5],[2.3, 2.9, 3.2],[2.0, 1.8, 2.7],[1.0, 1.5, 1.2],[1.5, 1.0, 1.8],[1.1, 0.9, 1.0]])# 数据标准化
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 应用PCA
pca = PCA()
pca.fit(X_scaled)# 获取方差贡献率
explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_
print("方差贡献率：", explained_variance_ratio)

输出：方差贡献率： [0.72770452 0.23943054 0.03286494]

解释：第一个主成分(PC1)解释了总方差的约72.77%

           第二个主成分(PC2)解释了总方差的约23.94%

           第三个主成分(PC3)解释了总方差的约3.29%

2.累计方差贡献率

累计方差贡献率表示前k个主成分对数据总方差的累计贡献比例。通常用于确定保留多少个主成分

数学计算公式：

           累计方差贡献率 = 方差贡献率_{i}

# 计算累计方差贡献率
cumulative_explained_variance_ratio = np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_)
print("累计方差贡献率：", cumulative_explained_variance_ratio)

输出：累计方差贡献率： [0.72770452 0.96713506 1. ]

解释：前两个主成分累计解释了总方差的约96.71%

3.方差值(pca.explain_variance_)

方差值表示每个主成分的方差大小

# 获取方差值
explained_variance = pca.explained_variance_
print("方差值：", explained_variance)

输出：方差值： [2.18285492 0.71743287 0.09846213]

解释：第一个主成分的方差值约为2.18

           第二个主成分的方差值约为0.72

可以根据累计方差贡献率来选择保留的主成分数量。通常保留能够解释80%到95%累计方差的主成分数量

4.主成分的载荷，也称特征向量(pca.components_)

载荷表示主成分与原始变量之间的线性关系

正载荷表示原始变量与主成分之间存在正相关关系，负载荷则表示负相关关系

作用：

pca.components_返回一个数组，每一行代表一个主成分，每一列对于原始变量的载荷

通过载荷，可以理解每个主成分是由哪些原始变量主导的，可以使用这些载荷将原始数据转换到主成分空间，即进行降维

假设我们有一个数据集，包含3个原始变量：x1,x2,x3，我们对数据进行主成分分析，并保留两个主成分

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA# 示例数据
X = np.array([[2.5, 2.4, 3.1],[0.5, 0.7, 0.9],[2.2, 2.9, 3.0],[1.9, 2.2, 2.8],[3.1, 3.0, 3.5],[2.3, 2.9, 3.2],[2.0, 1.8, 2.7],[1.0, 1.5, 1.2],[1.5, 1.0, 1.8],[1.1, 0.9, 1.0]])# 数据标准化
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 应用PCA
pca = PCA(n_components=2)  # 保留2个主成分
pca.fit(X_scaled)# 获取主成分载荷
components = pca.components_
print(components)

输出可能是这样的：

       [[ 0.65659969  0.73016143  0.73016143]
       [-0.73016143  0.65659969  0.65659969]]

含义解释：

   第一主成分：载荷为[0.6566, 0.7302, 0.7302]，表示PC1 = 0.6566·x1 + 0.7302·x2 + 0.7302 ·x3

                         这个成分主要由x2和x3主导

   第二主成分：载荷为[-0.7302, 0.6566, 0.6566]，表示PC2 = -0.7302·x1 + 0.6566 · x2 + 0.6566 ·x3         这个成分主要由x1主导

三.原理的一些小应用

1.主成分和贡献率相乘

主成分和贡献率相乘实际是对每个主成分进行加权。贡献率作为权重，反应了每个主成分的重要性

将加权后的主成分相加得到一个综合得分F，F是一个综合指标，用于评估每个样本的综合表现

将主成分与贡献率相乘后求和，可以构造一个综合得分，用于评估每个样本的综合表现。贡献率作为权重确保更重要的主成分对综合得分的影响更大。这种方法在实际应用中非常有用，尤其是在需要对样本进行排序或评估的场景中

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt# 随机生成10个公司的财务数据，每个公司有5个财务指标
np.random.seed(42)
X = np.random.rand(10, 5) * 100  # 10个公司，5个财务指标# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 应用PCA，保留所有主成分以便查看贡献率
pca = PCA()
pca.fit(X_scaled)# 输出主成分载荷和贡献率
components = pca.components_
explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_
print("主成分载荷：\n", components)
print("贡献率：\n", explained_variance_ratio)# 计算综合得分
Y = pca.transform(X_scaled)  # 获取主成分
F = np.zeros(Y.shape[0])     # 初始化综合得分数组
for i in range(Y.shape[1]):F += Y[:, i] * explained_variance_ratio[i]  # 将每个主成分乘以贡献率并相加# 输出综合得分
print("综合得分：\n", F)# 绘制综合得分柱状图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(range(1, 11), F, color='skyblue')
plt.xlabel('公司编号')
plt.ylabel('综合得分')
plt.title('公司综合财务得分')
plt.xticks(range(1, 11))
plt.show()# 绘制主成分和综合得分的散点图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(Y[:, 0], Y[:, 1], c=F, cmap='viridis')
plt.colorbar(label='综合得分')
plt.xlabel('主成分1')
plt.ylabel('主成分2')
plt.title('公司主成分与综合得分关系')
plt.show()