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        大家好，今天还是继续我们的动态规划里面的背包问题，前面我们主要接触的是0-1背包和完全背包，其实这两个背包问题主要就是看看每一件物品我们是否有多件，如果每一件物品我们只能取一次的话那这样我们就是0-1背包，如果每一件物品我们可以取多件的话那这样就是完全背包，那我们就接着以前的来继续我们今天的题目。

第一题对应力扣上编号为322的题目零钱兑换

          这道题大家听到题目名字应该就会有种熟悉的感觉，我们是不是前面做过，是的我们前面的确做过一道关于零钱兑换的题目，而且我们在贪心算法章节还刷过一道叫做柠檬水找零的题目，那我们看看这道题目跟我们以前做过的有什么不一样的：

        其实这道题目的背景与我们前面的那道零钱兑换的题目是一样的，不过那道题目让我们求的是可以凑出给定数额的组合方案数，而这一道题目让我们求的是凑出给定数额的所需的最少硬币个数，其实很明显题目还是很经典的完全背包问题，因为我们每种硬币的数量是无限的，但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品最少个数！那我们还是尝试使用完全背包问题来解决，还是动用动规五部曲。

       首先动规五部曲的第一步就是确定dp数组的含义，其实这里的话我们使用一维dp数组就可以了，dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]。

       第二步就是确定递推公式，我们需要仔细考虑一下，因为题目要求我们去求凑出给定金额的最少的钱币数，所以我们可以大致猜测肯定要出现取min值，我们很容易知道凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]，那如果不考虑coins[i]呢？那就是dp[j], 那这样两个取最小值不就是我们的递推公式了。

       第三步就是初始化dp数组，我们首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

这个是很明显的，考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。因为我们每一次都要取最小值，这样可以保证每次都可以正确更新所需的最少钱币数。

        第四步就是确定遍历顺序，本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。那其实我们先遍历钱币再遍历金额是可以的，反过来也是可以的。

        还有一步比较重要的就是举例推导dp数组，以代码随想录的例子为例：

           那我们可以尝试给出代码：

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);//初始化dp数组dp[0] = 0;//先遍历钱币再遍历总额for (int i = 0; i < coins.size(); ++i){for (int j = coins[i]; j <= amount; ++j){//如果被更新了就说明存在最少的硬币数而且可以被凑出if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX){dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

 第二题对应力扣编号为279的题目完全平方数

         这是我们今天的第二题，这道题我们以前没有见过比较类似的背景，我们就直接看看这道题目的要求：

        读完题目之后我就知道了，其实就是凑出这个数我们至少需要几个完全平方数，这个题目似乎与上一道题目比较类似，其实都是填满背包至少需要多少件物品类型题目，很明显这个题目还是完全背包，那我们还是得用动规五部曲来解决。

        第一步还是确定dp数组的含义，dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]。

        第二步就是递推公式，这道题目的递推公式与上一道题目的递推公式是异曲同工，还是我们考虑我是是否使用当前的完全平方数，当然我们不需要去写一个函数判断一个数是不是完全平方数，这里的每一个数就相当于我们上一道题的钱币金额，所以我们的递推公式大家或许就知道了应该是dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])。

        第三步一样的思路还是dp数组的初始化，dp[0] = 0其实这里可能有同学存在疑问，明明0*0 = 0那为啥dp[0] = 1不对呢，看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。所以其实这个dp[0] = 0没有什么意义，从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。这里其实与我们上面的题目也是类似的。

       第四步就是确定遍历顺序，我们还是使用完全背包的思路，先遍历物品再遍历背包就可以了。

        第五步就是打印验证dp数组这里就不说了，这个大家可以自行去测试。接下来走完动规五部曲以后我们就可以写出这道题目的解题代码：

class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;//遍历物品for (int i = 1; i <= n; ++i){//遍历背包其实也就是我当前使用完全平方数和凑出来的和for (int j = i * i; j <= n; ++j){//这是我们的递推公式，如果我想用一个i * i凑出的完全平方数就得先看前面那个数的需要//完全平方数的个数然后加1就可以了dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};

第三题对应力扣编号为139的题目单词拆分

       这是我们今天的最后一道题目，我们动态规划章节似乎也没有遇到过背景相似的题目，所以我们就先看看题目的要求：

       题目是给我们一个字符串列表里面存放了一些单词，给定我们一个字符串，看看这个字符串是否可以由我们字符串列表里面的单词拼接出来，而且字符串列表里面的单词都是可以重复使用的，很明显这还是一道完全背包的问题，那我们还是使用动规五部曲来解决这道题目。

      第一步确定dp数组以及下标的含义：dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。这题目有点特殊，所以我们定义的dp数组也是有点奇怪，第一次出现过bool类型的dp数组。

       第二步就是我们的确定递推公式，这或许很奇怪，既然我们的dp数组都定义成了bool类型的那我们还有什么递推公式，其实是这样的：如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。这个听起来很抽象其实不难理解，我们dp[j]已经凑出了，只要我们[j,i]的区间里面存在我们长度为j与长度为i相差的字符串，那不就说明长度为i的字符串也可以被凑出了。这个思路很有趣，大家要好好积累一下。

       第三步是dp数组如何初始化，从递推公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递推的根基，dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都都是false了。大家可以想想其实题目也说了我们的字符串是非空的，其实dp[0]完全是为了递推公式服务。

       第四步就是遍历顺序，这其实还是一道完全背包的题目，那我们其实还是可以按照完全背包的遍历顺序，其实单词就是物品，题目所给字符串就是背包，题目还是有需要注意的地方，这道题目是在意顺序，其实也就是排列问题而不是组合问题，如何理解？拿 s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] 举例。"apple", "pen" 是物品，那么我们要求 物品的组合一定是 "apple" + "pen" + "apple" 才能组成 "applepenapple"。"apple" + "apple" + "pen" 或者 "pen" + "apple" + "apple" 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。所以我们就知道了这道题目我们就只能先遍历背包再遍历物品，如果我们先遍历物品再遍历背包就会出现乱序的情况，这点大家必须注意。

       那这样其实题目的代码与以前似乎还是有些不一样：

class Solution {
public:bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());vector<bool> dp(s.size() + 1, false);dp[0] = true;for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {   // 遍历背包for (int j = 0; j < i; j++) {       // 遍历物品string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置，截取的个数)if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {dp[i] = true;}}}return dp[s.size()];}
};

 今日总结

       我们今天的题目其实有难度，大家得多多思考，理解动态规划并不容易，尤其是单词拆分这道题目的确很有难度，我们得理解为什么必须先遍历背包再遍历物品，以及我们要区分题目是考察的我们是组合问题还是排列问题，就是看看有没有顺序要求即可，这就是我们今天的讲解，我们明天见！