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优化方法介绍(二)

本博客是一个系列博客,主要是介绍各种优化方法,使用 matlab 实现,包括方法介绍,公式推导和优化过程可视化

1 BFGS 方法介绍

BFGS 的其实就是一种改良后的牛顿法,因为计算二阶导数 Hessian 矩阵所需的计算资源是比较大的,复杂度为 O ( 2 ⋅ n 2 ) \mathcal{O}(2 \cdot n^2) O(2n2) , 其中 n n n 为函数中的变量数量,当 n n n 比较大时,计算量就相当大了。BFGS 的思路就是,既然更新公式中需要的是 Hessian 矩阵的逆,那我们通过某种方法来拟合它不就好了

p k = − G k − 1 ⋅ g k p_k = -G_k^{-1} \cdot g_k pk=Gk1gk

经过数学家们的推导,Hessian 矩阵的逆 G k − 1 G_k^{-1} Gk1 可以近似为

D k + 1 = ( I − s k ⋅ y k T y k T ⋅ s k ) D k ( I − y k ⋅ s k T y k T ⋅ s k ) + s k ⋅ s k T y k T ⋅ s k D_{k+1} = (I - \frac{\mathbf{s}_k \cdot \mathbf{y}_k^{\mathrm{T}}}{\mathbf{y}_k^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{s}_k}) D_k (I - \frac{\mathbf{y}_k \cdot \mathbf{s}_k^{\mathrm{T}}}{\mathbf{y}_k^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{s}_k}) + \frac{\mathbf{s}_k \cdot \mathbf{s}_k^{\mathrm{T}}}{\mathbf{y}_k^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{s}_k} Dk+1=(IykTskskykT)Dk(IykTskykskT)+ykTskskskT

其中, s k = x k − x k − 1 \mathbf{s}_k = \mathbf{x}_k - \mathbf{x}_{k-1}

http://www.cadmedia.cn/news/6950.html

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