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news 2025/7/12 15:50:19

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频响函数是描述线性时不变系统（LTI） 在频域内动态特性的核心物理量。它定量表征了系统在受到外部激励时，输出响应与输入激励在不同频率下的幅值比和相位差关系。

设系统输入（激励力）为时域信号 $f(t)$ ，输出（响应，如位移、速度、加速度）为时域信号 $x(t)$

一频域关系

对输入 $F(\omega)$ 和输出 $X(\omega)$ 进行傅里叶变换（FT），系统的频响函数定义为：

${H(\omega) = \frac{X(\omega)}{F(\omega)}}$

$H(\omega)$ : 复数形式的频响函数

$\omega$ : 角频率（单位为 rad/s）

二复数的物理意义

$H(\omega) = |H(\omega)| e^{j\phi(\omega)} = \text{Re}(H(\omega)) + j \cdot \text{Im}(H(\omega))$

幅值 $|H(\omega)|$ ：输出响应幅值与输入激励幅值的比值（单位：响应单位/激励单位，例如 m/N， (m/s)/N， (m/s²)/N）。
物理意义： 系统对该频率激励的放大/衰减程度。

相位 $\phi(\omega)$ ：输出响应相对于输入激励的相位滞后角（单位：度 ° 或弧度 rad）。
物理意义： 响应滞后于激励的时间差（ $\Delta t = \frac{\phi}{\omega}$ ）。

实部 $\text{Re}(H)$ 与虚部 $\text{Im}(H)$ ：提供振动模态的共振特性信息（模态振型由虚部主导）。

三 FRF的重要性

3.1 模态参数的载体

FRF 的幅值-频率曲线上的峰值对应结构的固有频率 $f_n$ , 峰值形态/宽度反映阻尼比 $\zeta$ , 相位变化规律（如通过0°/180°）指示共振点，曲线上不同点的值 $H_{ij}(\omega)$ 与模态振型 $\{\psi\}$ 直接相关。

阻尼比讲解：

峰值形态直接反映了系统的能量耗散能力：

高阻尼系统：峰值较宽且平坦，能量快速耗散。

低阻尼系统：峰值较窄且尖锐，能量容易积累。

通过 半功率带宽法 定量计算阻尼比：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 系统参数
mass = 5.0          # 质量 (kg)
fn = 15.0           # 固有频率 (Hz)
damping_ratios = [0.005, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2]  # 不同阻尼比# 创建图表
plt.figure(figsize=(12, 8))for zeta in damping_ratios:# 计算FRF(位移响应/力)freq = np.linspace(0.1, 40, 1000)  # 频率范围omega_n = 2 * np.pi * fnomega = 2 * np.pi * freqH = 1 / (1 - (omega/omega_n)**2 + 1j*(2 * zeta * (omega/omega_n)))# 计算幅值（dB）mag_db = 20 * np.log10(np.abs(H))# 绘图plt.semilogy(freq, np.abs(H), linewidth=2, label=f'ζ={zeta}', alpha=0.8)# 设置图表属性
plt.title('不同阻尼比下的FRF幅值特性', fontsize=16)
plt.xlabel('频率 [Hz]', fontsize=14)
plt.ylabel('幅值 [m/N]', fontsize=14)
plt.grid(True, which='both', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.legend(fontsize=12, loc='upper right')
plt.xlim([0, 30])
plt.tight_layout()
plt.show()

阻尼比 (ζ)	峰值特点	物理意义	工程应用场景
< 0.01	极高窄尖	能量耗散极慢	精密仪器、音叉
0.01-0.05	窄尖峰	轻度能量耗散	航空航天结构
0.05-0.1	温和峰	中等阻尼特征	汽车悬架系统
0.1-0.3	宽平峰	明显能量消耗	建筑隔震系统
> 0.3	非常平缓	能量快速耗散	冲击吸收装置

相位变化规律的物理意义：

相位变化揭示了能量在系统中的存储与释放方式，反映了系统在共振区域的动态特性。

相位关系的基本原理

不同响应类型之间的相位关系遵循导数运算：

位移 x(t) → 基本响应
速度 v(t) = dx/dt → 相位超前90°
加速度 a(t) = d²x/dt² → 相位超前180°

响应类型	低频区(ω<<ωₙ)	共振区(ω≈ωₙ)	高频区(ω>>ωₙ)
位移响应	≈0°	≈-90°	≈-180°
速度响应	≈90°	≈0°	≈-90°
加速度响应	≈180°	≈90°	≈0°

典型相位变化特征

位移响应的相位变化

低频区 (ω ≪ ωₙ):
- 相位 ≈ 0° - 响应与激励同相
- 以弹性变形为主，系统表现为弹簧特性
共振区 (ω ≈ ωₙ):
- 相位 ≈ -90° - 响应滞后激励90°
- 相位突变：从 ≈0° → -90° → -180°
- 阻尼力主导状态，速度响应与激励力同相
高频区 (ω ≫ ωₙ):
- 相位 ≈ -180° - 响应与激励反相
- 以惯性效应为主，系统表现为质量特性

相位变化的物理机制

在共振频率附近 (ω ≈ ωₙ)，相位变化率最大，这揭示了如下物理本质：

（1）能量存储形式转换

当驱动频率等于固有频率时：动能和势能以相同频率但相位差90°，振荡系统能量在动能和势能间不断转化

（2）能量输入效率最高点

-90°相移位置恰好是共振点，此时驱动力始终与速度同相，驱动力对系统做功效率最大

在频响函数分析中：

峰值形态宽度是结构能量耗散效率的直观体现：

峰宽 ⇧ → 阻尼比 ζ ⇧ → 能量耗散快

峰宽 ⇩ → 阻尼比 ζ ⇩ → 能量积累剧增

相位变化规律揭示了系统能量存储与转移机制：

0°相位：弹性势能存储（弹簧特性）

-90°相位：动-势能共振交换点（阻尼主导）

-180°相位：惯性效应（质量特性）

相位变化工程应用价值：

结构健康监测：阻尼比增大 -> 可能出现裂缝或连接松动，峰值频率下降 -> 刚度损失（如结构损伤）。

减振设计：通过添加阻尼材料扩大峰值宽度，降低特定频率下的振动能量

NVH工程：尖锐峰值导致车内噪声峰，宽峰造成宽带噪声问题

模态振型定义与核心概念：

模态振型是结构动力学中的关键概念，它描述了结构在特定自然频率下振动时的变形形态。简单来说，模态振型揭示了结构在特定频率下"如何振动"，而不仅限于"振动多快"（频率）或"振动多强"（幅值）。

基本特性：

空间分布函数：展示结构各点相对位移关系

固有属性：仅依赖于结构的质量/刚度/边界条件

正交性：不同阶振型相互独立（数学上正交）

比例关系：只有相对振幅有意义，绝对幅值可归一化

PolyMAX等模态分析算法的目标，就是通过测量到的FRF数据，提取这些隐含的模态参数！

3.2 系统“指纹”

FRF 唯一确定了一个线性系统的动力学行为。已知 FRF 即可预测系统在任意已知激励下的稳态响应 $X(\omega) = H(\omega) F(\omega)$ 。

3.3 损伤/缺陷诊断

结构发生损伤（如裂纹、松动）时，其动力学特性（质量、刚度、阻尼）改变，FRF 也会随之变化（如峰值偏移、幅值变化）。通过比较健康与损伤状态的FRF，可定位损伤位置。

四 FRF的测量（实验模态分析EMA的关键步骤）

（1）激励方式

冲击锤（锤击法）：瞬态宽频带激励（成本低，效率高）。

激振器（正弦扫频/随机/伪随机）：可控能量输入（信噪比高，适合精密测量）。

（2）响应测量
使用加速度计/激光测振仪在结构表面测点记录振动响应 $x(t)$ 。

（3）信号处理
对输入力信号 $f(t)$ 和输出响应信号 $x(t)$ 进行以下计算：

$H(\omega) = \frac{S_{fx}(\omega)}{S_{ff}(\omega)} \quad$ 或 $\quad \frac{G_{xx}(\omega)}{G_{xf}(\omega)} \quad$

$S_{fx}(\omega)$ : 输入与输出的互谱密度 (Cross Spectrum)。

互谱密度描述了两个信号在频域中的相关关系：

描述两个信号之间的线性关系强度
幅值表示两个信号在特定频率上的耦合程度
相位表示频率成分之间的相位差

$S_{ff}(\omega)$ : 输入的自谱密度 (Auto Spectrum)。

自谱密度也称为功率谱密度 (Power Spectral Density, PSD)，描述了信号功率随频率的分布：

表示信号频率成分的能量强度
峰值对应系统固有频率
积分等于信号功率： $\int_{-\infty}^{\infty} S_{xx}(f) df =$ 信号平均功率

目的： 利用统计学平均抑制噪声干扰。

（4）FRF矩阵（多输入多输出MIMO）

当结构上有 $N_i$ 个激励点和 $N_o$ 个响应点时，FRF 扩展为 $N_o \times N_i$ 复数矩阵 $[H(\omega)]$ :

$[H(\omega)] = \begin{bmatrix} H_{11}(\omega) & H_{12}(\omega) & \cdots & H_{1N_i}(\omega) \\ H_{21}(\omega) & H_{22}(\omega) & \cdots & H_{2N_i}(\omega) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ H_{N_o1}(\omega) & H_{N_o2}(\omega) & \cdots & H_{N_oN_i}(\omega) \end{bmatrix}$

$H_{ij}(\omega)$ ：第 j 个点激励时，第 i 个点的响应与激励之比。

为什么用复数表示FRF？

振动是动态过程：

结构在共振频率下，响应峰值滞后激励力90°（阻尼控制）。

能量在动能和势能间周期性转化，需同时描述幅度和相位流动。

模态振型本质是复向量（特别是非比例阻尼系统），FRF虚部图直接反映谐振形态。

五总结

FRF的工程核心价值

应用领域	作用
模态分析	提取固有频率、阻尼比、模态振型（PolyMAX等方法的核心输入）
结构动力学建模	验证有限元模型（FEA）精度，修正模型参数
NVH优化	分析噪声/振动的传递路径，设计减振、隔声方案
故障诊断	通过FRF偏移诊断刚度损失、裂纹、松动等结构损伤
载荷识别	已知响应 $X(\omega)$ 和 $H(\omega)$ ，反推激励力 $F(\omega)$
主动振动控制	设计控制器补偿系统传递特性