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• 前缀和有利于快速求解 区间的和、异或值 、乘积等情况
• 差分是前缀和的反操作

前缀和

• 一维前缀和：

# 原始的数组num,下标从1到n
n = len(num)
pre = [0]*(n+1)
for i in range(n):pre[i+1] = pre[i] + num[i]
# 如果需要求解num[l] 到num[r] 的区间和
ans = pre[r] - pre[l-1]

• 二维前缀和

# 原本的数组是n*m形状的pre = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]for i in range(n):for j in range(m):pre[i+1][j+1] = pre[i][j+1] + pre[i+1][j] - pre[i][j] + num[i][j]

前缀和的应用：

• 当你想在一个区间进行统一的加上一个数或者减去一个数的时候，一个个操作会很慢，并且涉及多次操作的时候更新很麻烦，但是我们可以结合这个差分和前缀和进行快速求解

• 一维：

# 在区间l到r之间同时都加上a,那么我们只需在num[l] + a,在num[r+1] -a
# 然后求解前缀和即可，就可以得到每个位置的最后的值

• 二维：

# 1<=x1<=x2<=y1<=y2<=n
# 在x1,y1 到 x2,y2 之间都加上一个数
num[x1][y1] += a
num[x2+1]y2+1] +=a
num[x1][y2+1] -=a
num[x2+1][y1] -=a

差分：

• 一维差分：

# 1<=l<=r<=n ，那么区间l到r之间的和值为
ans = pre[r] - pre[l-1]

• 二维查分：

# 
ans = pre[x2][y2] - pre[x2][y1] - pre[x1][y2] + pre[x1][y1]

题目

求和

求和

思路分析：

• 首先直接暴力是肯定不行的，所以得考虑转换？发现可以提取相同的元素，然后使用这个前缀和进行优化即可

import os
import sys# 请在此输入您的代码# 提取公因式，你会发现 ans = a1*(a2+···an) + a2*(a3+···an) + an-1*(an)n = int(input())
num = list(map(int,input().split()))pre = [0]*(n+1)
for i in range(n):pre[i+1] = pre[i] + num[i]ans = 0
for i in range(n-1):ans += num[i]*(pre[n]-pre[i+1])
print(ans)

棋盘

棋盘

思路分析：

• 这个题目得使用到这个二维的前缀和与查分进行优化

import os
import sys# 请在此输入您的代码# 其实和这个，异或操作是类似的
# 0表示白色，1表示黑色n,m = map(int,input().split())num = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)]for _ in range(m):x1,y1,x2,y2 = map(int,input().split())x1,y1,x2,y2 = x1-1,y1-1,x2-1,y2-1num[x1][y1] += 1num[x2+1][y2+1]     +=1num[x1][y2+1]   -=1num[x2+1][y1]   -=1# 求解二维前缀和
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)]for i in range(n):for j in range(n):dp[i+1][j+1] = (dp[i+1][j] + dp[i][j+1] - dp[i][j] + num[i][j])%2for i in range(1, n + 1):row = "".join(str(dp[i][j]) for j in range(1, n + 1))print(row)

挖矿

挖矿

思路分析：

• 首先明确一个问题，在坐标轴上移动，最多只能转向一次：证明，设你转向多次之后到达左端点是 l,到达右端点的坐标是 r,如果你直接一开始不转向，直接到达左端点l,然后再直接向后转向右边,那么到达的距离是肯定比r大的

import os
import sys# 请在此输入您的代码
n,m = map(int,input().split())
num = list(map(int,input().split()))
# 开的空间
l ,r = [0]*(m + 1),[0]*(m + 1)iszero = 0for i in num:if i > 0 and i <= m:r[i] += 1if i < 0 and abs(i) <= m:l[abs(i)] += 1if i == 0:iszero = 1# 计算出其中的左和右可以到达的位置所能得到的矿
for i in range(1,m+1):r[i] += r[i-1]l[i] += l[i-1]
ans = 0# 枚举可以到达的端点，注意左边和右边
for j in range(1,m//2 + 1):ans = max(ans,r[j] + l[m-2*j],l[j] + r[m-2*j])print(ans+iszero)