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湖南网站营销推广设计,沈阳网络关键词排名,淘宝网站都是怎么做的,网站开发设计框图文章目录 线性方程组的解法认识一些基本的矩阵函数MATLAB 实现机电工程学院教学函数构造1.高斯消元法2.列主元消去法3. L U LU LU分解法 线性方程组的解法 看到以下线性方程组的一般形式:设有以下的 n n n阶线性方程组: A x b \mathbf{Ax}\mathbf{b} A…

文章目录

  • 线性方程组的解法
      • 认识一些基本的矩阵函数
      • MATLAB 实现
      • 机电工程学院教学函数构造

线性方程组的解法

看到以下线性方程组的一般形式:设有以下的 n n n阶线性方程组:

A x = b \mathbf{Ax}=\mathbf{b} Ax=b

求解线性方程组的方法可以分为两类:直接法迭代法

  • 直接法是指假设计算中不产生舍入误差,结果有限次的运算可以得到方程组的精确解的方法,主要用于解低阶稠密矩阵
  • 迭代法是一种通过构造迭代序列逐步逼近方程组精确解的方法。它将求解方程组的问题转化为一个迭代格式,从一个初始近似解出发,按照一定的迭代公式反复计算,得到一系列近似解,当迭代次数足够多时,这些近似解逐渐收敛到方程组的精确解。迭代法主要用于解高阶稀疏矩阵方程组,因为对于高阶稀疏矩阵,直接法可能会面临计算量过大、存储需求过高的问题,而迭代法可以利用矩阵的稀疏性,减少计算量和存储空间。

认识一些基本的矩阵函数

函数功能
rank ( A ) \texttt{rank}(\mathbf{A}) rank(A) A \mathbf{A} A的秩,即 A \mathbf{A} A中线性无关的行数和列数
det ( A ) \texttt{det}(\mathbf{A}) det(A) A \mathbf{A} A的行列式
inv ( A ) \texttt{inv}(\mathbf{A}) inv(A) A \mathbf{A} A的逆矩阵,若 A \mathbf{A} A近似奇异,会抛出错误
pinv ( A ) \texttt{pinv}(\mathbf{A}) pinv(A) A \mathbf{A} A的伪逆
trace ( A ) \texttt{trace}(\mathbf{A}) trace(A) A \mathbf{A} A的迹,即对角线元素和

MATLAB 实现

M A T L A B MATLAB MATLAB中,使用运算符\直接求解线性系统,该运算符功能强大,具有智能性。

x=A\b  %求解线性系统 Ax=b
X=A\B  %求解系统:AX=B
  1. 直接解法

问题
{ x 1 + 3 x 2 − 3 x 3 − x 4 = 1 3 x 1 − 6 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = 4 x 1 + 5 x 2 − 9 x 3 − 8 x 4 = 0 \begin{cases} x_1 + 3x_2 - 3x_3 - x_4&= 1 \\ 3x_1 - 6x_2 - 3x_3 + 4x_4 &= 4\\ x_1 + 5x_2 - 9x_3 - 8x_4 &= 0 \end{cases} x1+3x23x3x43x16x23x3+4x4x1+5x29x38x4=1=4=0

A=[1,3,-3,-1;3,-6,-3,4;1,5,-9,-8];
B=[1,4,0]';
X=A\B

  1. 逆矩阵:

注意这种方法首先要看一下 A \mathbf{A} A是不是方阵。

x=A^-1*b
x=inv(A)*b

问题
{ x 1 + 2 x 2 = − 1 3 x 1 + 4 x 2 = − 1 \begin{cases} x_1 + 2x_2&= -1 \\ 3x_1+4x_2 &=-1 \end{cases} {x1+2x23x1+4x2=1=1

A=[1,2;3,4];b=[-1;-1];x=A^-1*b


3. L U LU LU分解

[L U]=lu(A)
X=U\(L\B)

问题
{ 4 x 1 + 2 x 2 − x 3 = 2 3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 10 11 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 8 \left\{ \begin{array}{c} 4x_1+2x_2-x_3=2\\ 3x_1-x_2+2x_3=10\\ 11x_1+3x_2+x_3=8\\ \end{array} \right. 4x1+2x2x3=23x1x2+2x3=1011x1+3x2+x3=8

>> A=[4 2 -1;3 -1 2; 11 3 1];
>> B=[2 10 8]';
>> D=det(A)D =-10.0000>> [L U]=lu(A)L =0.3636   -0.5000    1.00000.2727    1.0000         01.0000         0         0U =11.0000    3.0000    1.00000   -1.8182    1.72730         0   -0.5000>> X=U\(L\B)X =4.0000-10.0000-6.0000

机电工程学院教学函数构造

1.高斯消元法

代码模板

function x = pureGaussianElimination(A, b)% 获取矩阵 A 的行数n = size(A, 1);% 构建增广矩阵 [A, b]augmentedMatrix = [A, b];% 前向消元过程for k = 1:n - 1for i = k + 1:n% 计算消元因子factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);% 消去第 i 行第 k 列的元素augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);endend% 回代求解x = zeros(n, 1);x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);for i = n - 1:-1:1x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / augmentedMatrix(i, i);end
end
2.列主元消去法

代码模板

function x = gaussianElimination(A, b)% 获取矩阵 A 的行数和列数[n, m] = size(A);% 构建增广矩阵 [A, b]augmentedMatrix = [A, b];% 前向消元过程for k = 1:n-1% 选主元[~, pivotIndex] = max(abs(augmentedMatrix(k:n, k)));pivotIndex = pivotIndex + k - 1;% 交换行if pivotIndex ~= ktemp = augmentedMatrix(k, :);augmentedMatrix(k, :) = augmentedMatrix(pivotIndex, :);augmentedMatrix(pivotIndex, :) = temp;end% 消元for i = k+1:nfactor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);endend% 回代求解x = zeros(n, 1);x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);for i = n-1:-1:1x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / augmentedMatrix(i, i);end
end
3. L U LU LU分解法

代码模板

function x = luDecomposition(A, b)% 获取矩阵 A 的行数n = size(A, 1);% 初始化 L 为单位矩阵,U 为 AL = eye(n);U = A;% LU 分解过程for k = 1:n - 1for i = k + 1:n% 计算 L 矩阵的元素L(i, k) = U(i, k) / U(k, k);% 更新 U 矩阵U(i, k:end) = U(i, k:end) - L(i, k) * U(k, k:end);endend% 求解 Ly = by = zeros(n, 1);for i = 1:ny(i) = (b(i) - L(i, 1:i - 1) * y(1:i - 1)) / L(i, i);end% 求解 Ux = yfunction x = GaussianElimination(A, b)% 获取矩阵 A 的行数n = size(A, 1);% 构建增广矩阵 [A, b]augmentedMatrix = [A, b];% 前向消元过程for k = 1:n - 1for i = k + 1:n% 计算消元因子factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);% 消去第 i 行第 k 列的元素augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);endend% 回代求解x = zeros(n, 1);x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);for i = n - 1:-1:1x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / augmentedMatrix(i, i);end
endx = zeros(n, 1);for i = n:-1:1x(i) = (y(i) - U(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / U(i, i);end
end
http://www.cadmedia.cn/news/2147.html

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