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0-1背包问题

（1）第一种情况：二维dp[i][j]数组

dp[i][j]表示[0,i]的物品放入容量为j背包的最大价值

不放物品i,dp[i][j]=dp[i-1][j]

放物品i,dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]

递推公式为：

 dp[i][j]=dp[i-1][j];//不放

 if(w[i]<=j)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);

  //当前物品体积小于j才可以放

两层for循环，先遍历物品或者先变量背包容量都可以

（2）第二种情况：一维dp[j]数组...相当于上一层数组拷贝下来，也叫滚动数组

dp[j]表示容量为j的背包所能放的最大价值

不放物品i,dp[j]=dp[j]

放物品i,dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i]

递推公式为：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])

双重for循环，必须先遍历物品，再遍历背包，同时背包要倒序遍历。

for(int i=0;i<n;i++){

        for(int j=t;j>=nums[i];j--){

            dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);

        }

    }

原因：保证每个物品只添加一次

416 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

1 <= nums.length <= 200

1 <= nums[i] <= 100

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

0-1背包问题，相当于物品体积和价值都是nums[i]

对数组求和，sum为奇数一定不满足

求出容量为sum/2时能放入的最大价值，如果刚好放慢，则说明可以分割为等和子集。

根据数组长度和大小，可以确定dp数组的大小，100*200/2=10000

int max(int a,int b){return a>b?a:b;
}
/*0-1背包问题，相当于物品体积和价值都是nums[i]
对数组求和，sum为奇数一定不满足
求出容量为sum/2时能放入的最大价值，如果刚好放慢，则说明可以分割为等和子集
*/
bool canPartition(int* nums, int numsSize) {int sum=0,i,j;int dp[10005]={};//dp[j]表示背包体积为j能放入的最大体积for(i=0;i<numsSize;i++){sum+=nums[i];}if(sum%2!=0)return false;//数组和必为偶数else{for(i=0;i<numsSize;i++){//必须先遍历物品for(j=sum/2;j>=nums[i];j--){//倒序遍历，保证每个元素只添加一次dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);//放入物品i,dp[j-nums[i]]+nums[i}}}if(dp[sum/2]==sum/2)return true;else return false;
}

1049 最后一块石头的重量

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

尽量把石头分为重量相近的两堆，保证相撞后重量最小

所以要尽可能分成重量为 sum / 2 的石头堆,这样剩下的石头堆也是 尽可能接近 sum/2 的重量

转化为背包问题，容量为sum/2时能装入的最大重量

剩下重量为sum-dp[sum/2],sum/2向下取整，所以剩下的重量一定大于dp[sum/2]

最后返回剩下重量与dp[sum/2]的差即可

int max(int a,int b){return a>b?a:b;
}
/*
尽量把石头分为重量相近的两堆，保证相撞后重量最小
所以要尽可能分成重量为 sum / 2 的石头堆,这样剩下的石头堆也是 尽可能接近 sum/2 的重量
转化为背包问题，容量为sum/2时能装入的最大重量
剩下重量为sum-dp[sum/2],sum/2向下取整，所以剩下的重量一定大于dp[sum/2]
最后返回剩下重量与dp[sum/2]的差即可
*/
int lastStoneWeightII(int* stones, int stonesSize) {int dp[15005]={};//dp[j]表示背包容量为j时所能放的最大价值int sum=0;for(int i=0;i<stonesSize;i++){sum+=stones[i];}int t=sum/2;for(int i=0;i<stonesSize;i++){for(int j=t;j>=stones[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);}}//sum向下取整，所以sum-dp[t]一定大于dp[t]return sum-dp[t]-dp[t];
}

总结：01背包问题，物品数量只有一个时，分为选和不选两种情况讨论

做题步骤

1、确定dp数组含义

2、确定递推公式

3、初始化

4、遍历。注意，二维dp数组遍历无顺序要求，一维dp数组必须先遍历物品，再遍历背包，并且背包要倒序遍历。循环内j>w[i]