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需求

求一个点是否在一个立方体内,立方体的8个顶点已知。

求解思路

特殊情况

若这个立方体的6个面,底与顶是平行于xy平面,前后现行于xz平面,左右平行于yz平面。

这种特殊情况下,是非常简单的:只需要判断这个点,是否在由这个立方体的8个顶点决定的x、y、z的开区间内即可(若为闭区间,就可能出现在表面)。

一般情况

若不是上述特殊情况,那么其实就有点碰撞检测的味道了,在刚遇到此问题时第一个想到的就是和碰撞检测相关,要判断一个点是否一条直线的左侧还是右侧,只需要进行向量计算叉乘即可,然后根据计算结果的正负即可判断是在左还是在右。

同理,那么判断点是否在立方体内,就需要判断点是否在6个面的内侧(立方体占用的空间内)即可。

如何判断点在面的内侧呢?

若将立方体的一个面的法向量规定为向内,法向量与面上的点与这个点的方向向量同向,那么就在内侧;

即点在立方体内时,所在面的法向量与面上已知点和体内点的向量的点乘为正值,

如法向量为AB,A为在平面上;体内点为C,那么AB•AC=|AB|*|AC|*Cosθ,因为点在立方体内侧,与AB同向,θ夹角就为锐角,那AB•AC为正值;

若C在体外,那么θ为钝角,那AB•AC为负值;θ为0,那么也就意味着C在平面上了(这也可以视为在体内)。

按上述思路,将6个面都判断一遍,即可确认点是否立方体内了。

代码实现

C#实现则如下:

        /// <summary>/// 判断点P是否在立方体内(已知8个顶点)/// </summary>/// <param name="point">待检测的点</param>/// <param name="cubeVertices">立方体的8个顶点(按特定顺序)</param>/// <returns>true: 在内部; false: 在外部</returns>public static bool IsPointInCube(Vector3 point, Vector3[] cubeVertices){// 定义立方体的6个面(假设顶点顺序已知)// 定义立方体的6个面(确保法向量朝外)int[][] faces =[[0, 3, 2, 1], // 底面(调整顶点顺序,使法向量朝上)[4, 5, 6, 7], // 顶面(法向量朝下)[0, 4, 7, 3], // 左面(法向量朝右)[1, 2, 6, 5], // 右面(法向量朝左)[2 ,3, 7, 6],// 前面(法向量朝内)[0, 1, 5, 4], // 后面(法向量朝外)];foreach (var face in faces){Vector3 v0 = cubeVertices[face[0]];Vector3 v1 = cubeVertices[face[1]];Vector3 v2 = cubeVertices[face[2]];// 计算两条边Vector3 edge1 = v1 - v0;Vector3 edge2 = v2 - v0;// 计算法向量(叉积)Vector3 normal = Vector3.Cross(edge1, edge2);normal = Vector3.Normalize(normal);// 计算AP向量Vector3 AP =  point-v0 ;// 计算点积(AP · n)float dot = Vector3.Dot(AP, normal);if (dot > 0.0001f) // 点在面外侧(考虑浮点误差){return false;}}return true; // 点在所有面内侧}

调用如下:

Vector3[] cubeVertices =
[new Vector3(0, 0, 0), // 顶点0new Vector3(1, 0, 0), // 顶点1new Vector3(1, 1, 0), // 顶点2new Vector3(0, 1, 0), // 顶点3new Vector3(0, 0, 1), // 顶点4new Vector3(1, 0, 1), // 顶点5new Vector3(1, 1, 1), // 顶点6new Vector3(0, 1, 1)  // 顶点7
];Vector3 testPoint = new(2f, 0.5f, 0.5f); // 测试点
bool isInside = PointInCubeChecker.IsPointInCube(testPoint, cubeVertices);

上述代码的立方体示意如下,以帮助理解:

 图中箭头为各个面的方向向量,箭头尾部的数字为顶点顺序,如底面方向向量为向上。——右手定则(拇指方向为方向向量,其它4指弯曲方向为顶点的排序方向)

注意:图中的顶点编号与程序中的顶点编号,图中顶点的编号起始点是1,程序中的顶点起始编号是0。

当然也可以定义立方体外的方向为各个面的方向向量,只是要注意传入立方体的顶点的顺序。

http://www.cadmedia.cn/news/1377.html

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