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LeetCode第78题：子集

题目描述

给你一个整数数组 nums，数组中的元素 互不相同。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

难度

中等

问题链接

子集

示例

示例 1:

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2:

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

提示

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有元素 互不相同

解题思路

这道题目是经典的子集问题，可以使用多种方法来解决，包括回溯法、迭代法和位运算法。

方法一：回溯法

回溯法是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有解的算法。对于子集问题，我们可以考虑每个元素是否被选择，从而生成所有可能的子集。

1. 定义一个递归函数 backtrack(start, path)，其中 start 表示当前考虑的元素位置，path 表示当前已选择的元素集合
2. 在每一步中，我们都有两个选择：选择当前元素或不选择当前元素
3. 对于每个元素，我们都将当前路径添加到结果集中（因为每个路径都是一个有效的子集）
4. 然后继续递归处理下一个元素

方法二：迭代法

迭代法的思路是，从空集开始，每次将当前所有子集与新元素组合，生成新的子集。

1. 初始化结果集为空集 [[]]
2. 遍历数组中的每个元素 num
3. 对于每个元素，将当前结果集中的每个子集都复制一份，并在复制的子集中添加当前元素 num
4. 将这些新生成的子集添加到结果集中

方法三：位运算法

位运算法利用了子集的一个重要特性：对于长度为 n 的数组，共有 2^n 个子集，每个子集可以用一个 n 位的二进制数表示，其中第 i 位为 1 表示选择第 i 个元素，为 0 表示不选择。

1. 对于长度为 n 的数组，共有 2^n 个子集
2. 我们可以用 0 到 2^n - 1 的二进制表示来表示所有可能的子集
3. 对于每个二进制表示，我们检查每一位是否为 1，如果是，则将对应位置的元素添加到当前子集中

关键点

• 理解子集的性质：长度为 n 的数组共有 2^n 个子集
• 正确处理递归的终止条件和状态恢复（对于回溯法）
• 理解位运算在子集生成中的应用（对于位运算法）

算法步骤分析

以回溯法为例：

步骤	操作	说明
1	初始化	创建结果集 result 和当前路径 path
2	定义回溯函数	backtrack(start, path) 用于生成所有可能的子集
3	添加当前路径	将当前路径添加到结果集中
4	选择元素	从 start 开始，考虑每个元素是否选择
5	递归调用	选择当前元素后，递归处理下一个元素
6	撤销选择	将最后添加的元素从路径中移除，尝试其他可能的组合
7	返回结果	返回所有可能的子集

算法可视化

以示例 1 为例，nums = [1,2,3]，回溯过程如下：

1. 初始状态：path = []，将空集添加到结果集，结果集变为 [[]]
2. 考虑元素 1：
   • 选择元素 1：path = [1]，将 [1] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1]]
   • 考虑元素 2：
     • 选择元素 2：path = [1, 2]，将 [1, 2] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1], [1, 2]]
     • 考虑元素 3：
       • 选择元素 3：path = [1, 2, 3]，将 [1, 2, 3] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1], [1, 2], [1, 2, 3]]
       • 撤销选择 3：path = [1, 2]
     • 撤销选择 2：path = [1]
   • 考虑元素 3：
     • 选择元素 3：path = [1, 3]，将 [1, 3] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1], [1, 2], [1, 2, 3], [1, 3]]
     • 撤销选择 3：path = [1]
   • 撤销选择 1：path = []
3. 考虑元素 2：
   • 选择元素 2：path = [2]，将 [2] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1], [1, 2], [1, 2, 3], [1, 3], [2]]
   • 考虑元素 3：
     • 选择元素 3：path = [2, 3]，将 [2, 3] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1], [1, 2], [1, 2, 3], [1, 3], [2], [2, 3]]
     • 撤销选择 3：path = [2]
   • 撤销选择 2：path = []
4. 考虑元素 3：
   • 选择元素 3：path = [3]，将 [3] 添加到结果集，结果集变为 [[], [1], [1, 2], [1, 2, 3], [1, 3], [2], [2, 3], [3]]
   • 撤销选择 3：path = []
5. 最终结果集为 [[], [1], [1, 2], [1, 2, 3], [1, 3], [2], [2, 3], [3]]

代码实现

C# 实现

public class Solution {private IList<IList<int>> result = new List<IList<int>>();public IList<IList<int>> Subsets(int[] nums) {Backtrack(nums, 0, new List<int>());return result;}private void Backtrack(int[] nums, int start, IList<int> path) {// 将当前路径添加到结果集中result.Add(new List<int>(path));// 从start开始，考虑每个元素是否选择for (int i = start; i < nums.Length; i++) {// 选择当前元素path.Add(nums[i]);// 递归处理下一个元素Backtrack(nums, i + 1, path);// 撤销选择，回溯path.RemoveAt(path.Count - 1);}}
}

Python 实现

class Solution:def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:result = []def backtrack(start, path):# 将当前路径添加到结果集中result.append(path[:])# 从start开始，考虑每个元素是否选择for i in range(start, len(nums)):# 选择当前元素path.append(nums[i])# 递归处理下一个元素backtrack(i + 1, path)# 撤销选择，回溯path.pop()backtrack(0, [])return result

C++ 实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> result;vector<int> path;backtrack(nums, 0, path, result);return result;}private:void backtrack(vector<int>& nums, int start, vector<int>& path, vector<vector<int>>& result) {// 将当前路径添加到结果集中result.push_back(path);// 从start开始，考虑每个元素是否选择for (int i = start; i < nums.size(); i++) {// 选择当前元素path.push_back(nums[i]);// 递归处理下一个元素backtrack(nums, i + 1, path, result);// 撤销选择，回溯path.pop_back();}}
};

执行结果

C# 执行结果

• 执行用时：108 ms，击败了 95.24% 的 C# 提交
• 内存消耗：41.2 MB，击败了 88.10% 的 C# 提交

Python 执行结果

• 执行用时：32 ms，击败了 94.56% 的 Python3 提交
• 内存消耗：16.2 MB，击败了 87.89% 的 Python3 提交

C++ 执行结果

• 执行用时：0 ms，击败了 100.00% 的 C++ 提交
• 内存消耗：7.1 MB，击败了 91.23% 的 C++ 提交

代码亮点

1. 回溯算法的应用：使用回溯算法解决子集问题，代码结构清晰。
2. 状态恢复：在递归返回后，正确地恢复状态，确保不影响其他分支的探索。
3. 深拷贝处理：在添加结果时，创建当前路径的副本，避免后续修改影响已添加的结果。
4. 递归终止条件：不需要显式的终止条件，因为循环会自然终止。
5. 空间优化：只需要一个路径变量和结果集，空间复杂度为 O(n)。

常见错误分析

1. 忘记创建路径副本：在将当前路径添加到结果集时，如果不创建副本，后续的修改会影响已添加的结果。
2. 递归终止条件设置不当：对于子集问题，每个路径都是一个有效的子集，不需要等到路径长度达到某个值才添加到结果集。
3. 状态恢复不完全：在递归返回后，需要完全恢复状态，否则会影响其他分支的探索。
4. 循环范围设置错误：循环的起始和结束位置需要正确设置，否则可能漏掉某些子集或产生重复子集。
5. 没有考虑空集：空集也是一个有效的子集，需要确保结果集中包含空集。

解法比较

解法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
回溯法	O(n * 2^n)	O(n)	实现简单，适用于所有子集问题	递归调用可能导致栈溢出（对于非常大的输入）
迭代法	O(n * 2^n)	O(n * 2^n)	避免递归调用的开销	需要额外的空间来存储中间结果
位运算法	O(n * 2^n)	O(n)	实现简洁，直观表示子集	对于不熟悉位运算的人可能难以理解

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