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1 定义：

树是由 n（n≥0）个节点组成的有限集合。当 n=0 时，称为空树；在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点，当 n>1 时，其余节点可分为 m（m>0）个互不相交的有限集 T1、T2、……、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

2 基本术语

• 节点的度：一个节点拥有的子树个数。
• 树的度：树中节点的最大度数。
• 叶子节点：度为 0 的节点，也称为终端节点。
• 非叶子节点：度不为 0 的节点，也称为分支节点。
• 节点的层次：从根节点开始，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次。

节点的定义

public class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int val) {value=val;}@Overridepublic String toString() {return "Node [value=" + value + ", left=" + left + ", right=" + right + "]";}

3 常见的树结构

• 二叉树：每个节点最多有两个子树的树结构，分别称为左子树和右子树。二叉树具有一些特殊的性质，例如在满二叉树中，第 i 层的节点数为 2^(i - 1)；深度为 k 的满二叉树，节点总数为 2^k - 1。
• 完全二叉树：除了最后一层外，其他各层节点数都达到最大值，且最后一层的节点都集中在左侧。
• 哈夫曼树：一种带权路径长度最短的二叉树，常用于数据压缩等领域。通过贪心算法构建，将权值最小的节点不断合并，最终形成哈夫曼树。
• B 树和 B + 树：常用于数据库索引等场景。B 树是一种平衡的多路查找树，节点可以存储多个关键字，并且能够在插入、删除操作时保持树的平衡。B + 树是 B 树的一种变体，所有数据都存储在叶子节点，非叶子节点只存储关键字和指向子节点的指针，更适合范围查询。

6 树的性质

1 树中的结点数等于所有结点的度数加1.
2 度为m mm的树中第i ii层上至多有m^(i-1)个节点
高度为h 的m叉树至多有( m^h − 1 ) / ( m − 1 )个结点。
具有n个结点的m 叉树的最小高度为[ l o g m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ]

5 树的遍历

• 前序遍历：先访问根节点，然后递归地遍历左子树，最后递归地遍历右子树。

//	先序public  void beforeOrder(Node node) {if(node==null) {return;}System.out.print(node.value+" ");beforeOrder(node.left);beforeOrder(node.right);}

• 中序遍历：先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地遍历右子树。对于二叉搜索树，中序遍历可以得到一个有序的序列。

//	中序public  void inOrder(Node node) {if(node==null) {return;}inOrder(node.left);System.out.print(node.value+" ");inOrder(node.right);}

• 后序遍历：先递归地遍历左子树，然后递归地遍历右子树，最后访问根节点。

//	后序public  void afterOrder(Node node) {if(node==null) {return;}afterOrder(node.left);afterOrder(node.right);System.out.print(node.value+" ");}

6  二叉搜索树插入

二叉搜索树具有如下性质：对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点值都大于该节点的值。插入操作的步骤如下：

1. 若树为空，将新节点作为根节点。
2. 若新节点的值小于当前节点的值，递归地插入到左子树中。
3. 若新节点的值大于当前节点的值，递归地插入到右子树中。

	public void insert(int num) {Node node =new Node(num);if(root==null) {root=node;return;}Node index=root;while(true) {if(index.value>num) {if(index.left==null) {index.left=node;return;}else {index=index.left;}}else {if(index.right==null) {index.right=node;return;}else {index=index.right;}}}}

• 时间复杂度：在平均情况下为 O(logn)，这里的 n 是树中节点的数量。不过在最坏情况下（树退化为链表），时间复杂度会变为 O(n)。
• 空间复杂度：递归调用栈的深度平均为 O(logn)，最坏情况下为 O(n)

7 遍历

具体步骤

1. 队列初始化：创建一个Queue对象，用于存储待遍历的节点。这里使用LinkedList来实现队列。
2. 根节点入队：若根节点不为空，就把根节点添加到队列中。
3. 循环遍历：只要队列不为空，就持续从队列头部取出节点，打印其值，接着将该节点的左右子节点（若存在）添加到队列尾部。
4. 结束输出：遍历完成后换行。

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int val) {value = val;}
}class BinaryTree {Node root;public void levelOrder() {// 创建一个队列用于存储待遍历的节点Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();// 如果根节点不为空，将根节点加入队列if (root != null) {queue.add(root);}// 用于临时存储从队列中取出的节点Node index = null;// 当队列不为空时，持续进行遍历while (!queue.isEmpty()) {// 从队列头部取出一个节点index = queue.poll();// 打印该节点的值System.out.print(index.value + " ");// 如果该节点的左子节点不为空，将左子节点加入队列if (index.left != null) {queue.add(index.left);}// 如果该节点的右子节点不为空，将右子节点加入队列if (index.right != null) {queue.add(index.right);}}// 遍历结束后换行System.out.println();}
}

8 删除

二叉搜索树删除思路

在二叉搜索树中删除节点，需要考虑三种情况：

1. 要删除的节点是叶子节点：直接删除该节点，即把其父节点指向该节点的指针置为 null。
2. 要删除的节点只有一个子节点：用该子节点替换要删除的节点，也就是让其父节点指向该子节点。
3. 要删除的节点有两个子节点：找到该节点右子树中的最小节点（也可以是左子树中的最大节点），用这个最小节点的值替换要删除节点的值，然后再删除右子树中的最小节点。

class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;}
}class BinarySearchTree {Node root;// 查找public Node search(int num) {Node index = root;while (index != null && index.value != num) {if (index.value > num) {index = index.left;} else {index = index.right;}}return index;}// 查找目标节点父节点public Node searchFather(int num) {Node index = root;while (index != null) {if ((index.left != null && index.left.value == num) || (index.right != null && index.right.value == num)) {return index;} else if (index.value > num) {index = index.left;} else {index = index.right;}}return null;}// 找一颗树最小值public int min(Node treeNode) {if (treeNode == null) {throw new IllegalArgumentException("传入的节点不能为 null");}Node index = treeNode;while (index.left != null) {index = index.left;}return index.value;}// 删除public void delete(int num) {if (root == null) {return;}// 找目标节点Node target = search(num);// 没有节点结束if (target == null) {System.out.println("没有节点");return;}// 找目标节点父节点Node parent = searchFather(num);if (target.left == null && target.right == null) {// 删除叶子节点if (parent == null) {root = null;} else if (parent.left != null && parent.left.value == num) {parent.left = null;} else {parent.right = null;}} else if (target.left != null && target.right != null) {// 有两颗子树int minValue = min(target.right);delete(minValue);target.value = minValue;} else {// 一颗子树Node child = target.left != null ? target.left : target.right;if (parent == null) {root = child;} else if (parent.left != null && parent.left.value == num) {parent.left = child;} else {parent.right = child;}}}
}

代码功能分析

1. search(int num) 方法

此方法用于在二叉搜索树中查找值为 num 的节点。它从根节点开始，依据节点值与 num 的大小关系，向左或向右遍历树，直至找到目标节点或者遍历到空节点。

2. searchFather(int num) 方法

该方法用于查找值为 num 的节点的父节点。同样从根节点开始遍历，若当前节点的左子节点或右子节点的值等于 num，则返回当前节点；否则，依据节点值与 num 的大小关系继续向左或向右遍历。

3. min(Node treeNode) 方法

此方法用于查找以 treeNode 为根的子树中的最小值节点。由于二叉搜索树的性质，最小值节点位于最左侧，所以不断向左遍历直至找到最左侧的节点。