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1. 引言

微机运算基础是计算机科学和电子工程的核心内容。理解计算机如何表示和处理数据，是学习计算机体系结构、编程和数字逻辑设计的前提。本文将主要学习进位计数制、进制转换、二进制运算方法，以及数值的定点、浮点表示和带符号数的表示。

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2. 进位计数制

2.1 基本概念

进位计数制是一种按进位规则表示数值的方法，其核心要素包括：

• 基数（Base）：一个数位可用的字符或数码的个数，可用于区别不同数制（比如如十进制的基数为10，十六进制的基数为16）。
• 权值：每个数位代表的值为数码值乘以基数的幂次（如十进制数123中，1的权值为$10^2$）。

几进制就是逢几进一，比如十进制数到10需要进位，八进制数到8需要进位。

2.2 常见进制

1. 十进制（Decimal）：基数为10，数码为0-9。
2. 二进制（Binary）：基数为2，数码为0和1，是计算机内部运算的基础。
3. 八进制（Octal）：基数为8，数码为0-7。
4. 十六进制（Hexadecimal）：基数为16，数码为0-9和A-F（A=10, B=11, …, F=15）。
   以21为例，按照上述顺序，用这些进制分别进行表示：
   方法一：$21_{10}、10101_2、25_8、15_{16}$
   方法二：$21H、10101B、25Q、15H$
   方法三：$21、0b10101、0o25、0x15$

方法一是下标的形式进行区分。
方法二是使用后缀加以区分，注意到八进制的后缀是Q，这是因为O与0很像，所以用Q代替O，当然有的地方还是以O作为后缀，不必过多纠结，按照上面人的要求即可。
方法三则是添加前缀进行区分。

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3. 不同进制之间的转换

进制之间的转换方法总结于下图，可作为参考。

3.1 其他进制转十进制

因为十进制是人类最熟悉的数制，因此我们把原来进制按每一个位展开，在进行求和即可。
按权展开法：将每个数码乘以基数的幂次后求和。
示例：

• 二进制数$(1011.01{)}_2=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}=11.25_{10}$
• 十六进制数$(3A.F{)}_{16}=3\times 16^1+10\times 16^0+15\times 16^{-1}=58.9375_{10}$

3.2 十进制转其他进制

十进制转换为其他进制，就类似于分组的思维，所以我们需要除以基数

• 整数部分：除基取余法（从下往上取余数）。
• 小数部分：乘基取整法（从上往下取整数）。
  示例：将$25.375_{10}$转换为二进制：
  • 整数部分：$25÷2=12$ 余1 → $(11001{)}_2$
  • 小数部分：$0.375\times 2=0.75$ 取0 → $0.75\times 2=1.5$ 取1 → $(.011{)}_2$
  • 结果：$(11001.011{)}_2$
    小数与正数取方向的要进行区分，可以简单记忆为：每一次运算出来的结果往“边缘”跑。
    

3.3 二进制与八进制、十六进制的转换

对于八进制和十六进制，可以观察到 $8=2^3、16=2^4$ ，也就是说3位二进制可对应1位的八进制，4位二进制就一位的十六进制。因此，我们可以沿着这个思路进行二进制到八进制与十六进制的转换。

• 二进制→八进制：每3位二进制为一组，转换为1位八进制（不足补零）。
• 二进制→十六进制：每4位二进制为一组，转换为1位十六进制。
  示例：
  $(10110110{)}_2$ → 分组为10 110 110 → 八进制$(266{)}_8$
  $(10110110{)}_2$ → 分组为1011 0110 → 十六进制$(B6{)}_{16}$

同样的，如果是八进制、十六进制转换为二进制，则是反过来即可。

• 八进制 → 二进制： 1对3
• 十六进制 → 二进制： 1对4
  示例：
  八进制$(266{)}_8$ →分组为2 6 6 → 转为 10 110 110 → $(10110110{)}_2$
  十六进制$(B6{)}_{16}$ →分组B 6 → 对应1011 0110 → $(10110110{)}_2$

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4. 二进制编码

计算机只能识别二进制数，因此我们需要把所有的信息都一一对应到二进制编码中，而上述的二进制码仅仅代表数字之间的运算，对于字符，键盘的输入等都需要有二进制代码，所以设计了一些有标准的，符合人的直觉的二进制编码。

4.1 BCD码（Binary-Coded Decimal）

用4位二进制表示1位十进制数（如$29_{10}=00101001_{BCD}$），适用于需要精确十进制运算的场景（如金融计算）。像这种设计，把十进制的每一位分开写成二进制，就不会很费脑筋。

需要注意的是，占一位十进制的数字只能是 0~9，因此对应的4位二进制范围也只能是 0000~1001，至于1010~1111就相当于浪费了。

4.2 格雷码（Gray Code）

相邻数值仅有一位不同，用于减少传感器或通信中的错误。
转换规则：二进制码 → 格雷码：保留最高位，其余每位与前一位异或。

4.3 ASCII码

用7位二进制表示128个字符（包括字母、数字和控制符），扩展ASCII码使用8位。这里的数字就不是运算的数值了，比如数字 1 ，实际上是字符 1，背后则是00110001 。
需要记住一些常用的 ASCII 码，比如：

字符	十六进制	十进制	字符	十六进制	十进制
0	30H	48	回车	0DH	13
A	41H	65	空格	20H	32
a	61H	97	退格	08H	8

因为背后的二进制码太过冗长，且难以记忆，因此我们通常转换为十六进制或者十进制进行记忆。

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5. 二进制数的运算

5.1 算术运算

1. 加法：逢2进1（如$1011+0110=10001$）。
2. 减法：借1当2（需处理补码，见第7节）。
3. 乘法：移位相加（如$101\times 11=1111$）。
4. 除法：类似十进制的长除法。

5.2 逻辑运算

• 与（AND）：全1则1，否则0。
• 或（OR）：有1则1。
• 非（NOT）：取反。
• 异或（XOR）：相同为0，不同为1。

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6. 数的定点与浮点表示

6.1 定点数

• 整数：小数点固定在最低位右侧（如16位整数范围为$-32768$到$32767$）。
• 小数：小数点固定在最高位右侧（如8位定点小数可表示范围$0.00390625$到$0.99609375$）。

6.2 浮点数（IEEE 754标准）

用科学计数法表示数：$N=(-1{)}^S\times M\times 2^E$

• 单精度（32位）：1位符号位（S），8位阶码（E），23位尾数（M）。
• 双精度（64位）：1位符号位，11位阶码，52位尾数。
  规格化处理：调整阶码使尾数最高位为1（背后隐含存储）。

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7. 带符号数的表示法

7.1 原码、反码、补码

1. 原码：最高位为符号位（0正1负），数值部分直接转换（如$-5_{10}=10101$）。
2. 反码：正数同原码，负数符号位不变，数值位取反（$-5_{10}=11010$）。
3. 补码：正数同原码，负数为反码+1（$-5_{10}=11011$）。
   除了补码可以表示范围是：+127D~128D，原码和反码的范围只能是+127D~-127D

7.2 补码的优势

• 统一加减法：减法可转换为加法（如$A-B=A+(-B{)}_{补}$）。
• 消除+0和-0歧义：补码中0的唯一表示为全0。

7.3 溢出检测

溢出，是对于带符号数的运算结果而言。
只有在当两个正数相加结果为负，或两个负数相加结果为正时，才会发生溢出。
这里总结的判断方法有两个：
一是看两个数符号是否一致，不一致一定不会溢出，一致则判断运算结果是否正确，运算错误一定溢出。
二是双进位法，即通过符号位，数值最高位，这两个位置的进位状态取异或的结果，如果结果是1，则溢出。

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8. 总结

主要掌握进制之间的转换，因为这部分也是模电要求的内容，涉及到底层会比较重要，其次则是一些常用的ASCII码的记忆，这些可能在编程的时候会用到，最后需要分清补码，原码，反码这些概念，还有溢出的判断方法。